(1) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \log(\sqrt{[2]} + [3])$ の $[2]$ と $[3]$ に入る値を求めよ。ただし、$\frac{d}{dx} \log(x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ である。 (2) $y = e^x \sin x + 1$ のとき、$y'' = [4] e^x \cos x$ と $y'' - 2y' + 2y = [5]$ の $[4]$ と $[5]$ に入る値を求めよ。 (3) $\int_0^\pi e^x \sin x dx = \frac{[6]}{[7]}(e^\pi + [8])$ の $[6]$, $[7]$, $[8]$ に入る値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \log(\sqrt{[2]} + [3])$ の $[2]$ と $[3]$ に入る値を求めよ。ただし、$\frac{d}{dx} \log(x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ である。

(2) $y = e^x \sin x + 1$ のとき、$y'' = [4] e^x \cos x$ と $y'' - 2y' + 2y = [5]$ の $[4]$ と $[5]$ に入る値を求めよ。

(3) $\int_0^\pi e^x \sin x dx = \frac{[6]}{[7]}(e^\pi + [8])$ の $[6]$, $[7]$, $[8]$ に入る値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \left[ \log(x+\sqrt{x^2+1}) \right]_0^{\sqrt{3}}$

$= \log(\sqrt{3}+\sqrt{3+1}) - \log(0+\sqrt{0+1}) = \log(\sqrt{3}+2) - \log(1)$

$= \log(\sqrt{3}+2) - 0 = \log(2+\sqrt{3})$.

よって $[2] = 3$, $[3] = 2$.

(2) $y = e^x \sin x + 1$.

$y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

$y'' = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$

よって $[4] = 2$.

$y'' - 2y' + 2y = 2e^x \cos x - 2e^x (\sin x + \cos x) + 2(e^x \sin x + 1)$

$= 2e^x \cos x - 2e^x \sin x - 2e^x \cos x + 2e^x \sin x + 2 = 2$

よって $[5] = 2$.

(3) $I = \int_0^\pi e^x \sin x dx$. 部分積分を行う。

$I = [e^x (-\cos x)]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (-\cos x) dx = -e^\pi \cos \pi + e^0 \cos 0 + \int_0^\pi e^x \cos x dx$

$I = e^\pi + 1 + [e^x \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi e^x \sin x dx = e^\pi + 1 + (0 - 0) - I$

$2I = e^\pi + 1$

$I = \frac{1}{2}(e^\pi + 1)$.

よって $[6] = 1, [7] = 2, [8] = 1$.

3. 最終的な答え

(1) $[2] = 3, [3] = 2$

(2) $[4] = 2, [5] = 2$

(3) $[6] = 1, [7] = 2, [8] = 1$