2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフについて、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求めます。 (1) $x$軸の $x > -4$ の部分と、異なる2点で交わる。 (2) $x$軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分のそれぞれと交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフについて、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求めます。

(1) $x$軸の $x > -4$ の部分と、異なる2点で交わる。

(2) $x$軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分のそれぞれと交わる。

2. 解き方の手順

(1)

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフが $x$ 軸の $x > -4$ の部分と異なる2点で交わる条件を考えます。

これは、以下の条件を満たす必要があります。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = -m > -4$

(iii) $f(-4) < 0$

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(-1)(-2m - 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m - 3)(m + 1)$

$D > 0$ より、$(m - 3)(m + 1) > 0$ なので、$m < -1$ または $m > 3$。

次に、軸 $x = -m > -4$ より、$m < 4$。

最後に、$f(-4) < 0$ より、

$y = -(-4)^2 - 2m(-4) - 2m - 3 = -16 + 8m - 2m - 3 = 6m - 19 < 0$

$6m < 19$ なので、$m < \frac{19}{6}$。

以上の条件をまとめると、

$m < -1$ または $m > 3$、かつ $m < 4$、かつ $m < \frac{19}{6}$。

したがって、$m < -1$ または $3 < m < \frac{19}{6}$。

(2)

2次関数 $y = -x^2 - 2mx - 2m - 3$ のグラフが $x$ 軸の $x > -2$ の部分と $x < -2$ の部分のそれぞれと交わる条件を考えます。

これは、$f(-2) > 0$ を満たす必要があります。

$y = -(-2)^2 - 2m(-2) - 2m - 3 = -4 + 4m - 2m - 3 = 2m - 7 > 0$

$2m > 7$ なので、$m > \frac{7}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $m < -1$ または $3 < m < \frac{19}{6}$

(2) $m > \frac{7}{2}$