放物線 $y = -x^2 - 2x + 1$ を点 $(2, 1)$ に関して対称移動した放物線の方程式を求める問題です。ただし、平行移動と原点に関する対称移動を用いて解くように指示されています。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 - 2x + 1$ を点 $(2, 1)$ に関して対称移動した放物線の方程式を求める問題です。ただし、平行移動と原点に関する対称移動を用いて解くように指示されています。

2. 解き方の手順

以下の手順で解きます。

ステップ1: 平行移動

まず、放物線 $y = -x^2 - 2x + 1$ を、対称の中心である点 $(2, 1)$ が原点 $(0, 0)$ に重なるように平行移動します。

この移動は、$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動することに対応します。

つまり、$x$ を $x + 2$ で、$y$ を $y + 1$ で置き換えます。

すると、

$y + 1 = -(x + 2)^2 - 2(x + 2) + 1$

$y + 1 = -(x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 + 1$

$y + 1 = -x^2 - 4x - 4 - 2x - 4 + 1$

$y + 1 = -x^2 - 6x - 7$

$y = -x^2 - 6x - 8$

ステップ2: 原点に関する対称移動

次に、得られた放物線 $y = -x^2 - 6x - 8$ を原点に関して対称移動します。

これは、$x$ を $-x$ で、$y$ を $-y$ で置き換えることに対応します。

$-y = -(-x)^2 - 6(-x) - 8$

$-y = -x^2 + 6x - 8$

$y = x^2 - 6x + 8$

ステップ3: 平行移動

最後に、ステップ1で行った平行移動の逆の移動を行います。

つまり、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動します。

$x$ を $x - 2$ で、$y$ を $y - 1$ で置き換えます。

$y - 1 = (x - 2)^2 - 6(x - 2) + 8$

$y - 1 = x^2 - 4x + 4 - 6x + 12 + 8$

$y - 1 = x^2 - 10x + 24$

$y = x^2 - 10x + 25$

$y = (x - 5)^2$

3. 最終的な答え

点(2, 1)に関して対称移動した放物線の方程式は、$y = x^2 - 10x + 25$ です。

言い換えると、$y = (x - 5)^2$ です。