与えられた定積分を計算します。 $$ \int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt $$ ただし、$x > 1$ かつ $k > 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

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\int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt

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ただし、$x > 1$ かつ $k > 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、$u = e^{-kt}$ と置換します。すると、$du = -ke^{-kt} dt$ となり、$dt = -\frac{1}{ku} du$ となります。

積分の範囲も変更します。$t = 1$ のとき $u = e^{-k}$ であり、$t = x$ のとき $u = e^{-kx}$ です。したがって、積分は次のようになります。

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\int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt = \int_{e^{-k}}^{e^{-kx}} \frac{1}{1 - u} \left( -\frac{1}{ku} \right) du = \frac{1}{k} \int_{e^{-kx}}^{e^{-k}} \frac{1}{u(1 - u)} du

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被積分関数を部分分数分解します。

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\frac{1}{u(1 - u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 - u}

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両辺に $u(1 - u)$ を掛けると、

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1 = A(1 - u) + Bu

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$u = 0$ のとき、$1 = A(1 - 0) + B(0)$ より $A = 1$ です。

$u = 1$ のとき、$1 = A(1 - 1) + B(1)$ より $B = 1$ です。

したがって、

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\frac{1}{u(1 - u)} = \frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u}

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元の積分は次のようになります。

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\frac{1}{k} \int_{e^{-kx}}^{e^{-k}} \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u} \right) du = \frac{1}{k} \left[ \ln |u| - \ln |1 - u| \right]_{e^{-kx}}^{e^{-k}}

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= \frac{1}{k} \left[ \ln \left| \frac{u}{1 - u} \right| \right]_{e^{-kx}}^{e^{-k}}

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= \frac{1}{k} \left[ \ln \left( \frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} \right) - \ln \left( \frac{e^{-kx}}{1 - e^{-kx}} \right) \right]

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= \frac{1}{k} \left[ \ln \left( \frac{e^{-k}}{1 - e^{-k}} \cdot \frac{1 - e^{-kx}}{e^{-kx}} \right) \right]

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= \frac{1}{k} \ln \left( \frac{e^{-k}}{e^{-kx}} \cdot \frac{1 - e^{-kx}}{1 - e^{-k}} \right)

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= \frac{1}{k} \ln \left( e^{k(x - 1)} \cdot \frac{1 - e^{-kx}}{1 - e^{-k}} \right)

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= \frac{1}{k} \left[ k(x - 1) + \ln \left( \frac{1 - e^{-kx}}{1 - e^{-k}} \right) \right]

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= (x - 1) + \frac{1}{k} \ln \left( \frac{1 - e^{-kx}}{1 - e^{-k}} \right)

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3. 最終的な答え

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x - 1 + \frac{1}{k} \ln \left( \frac{1 - e^{-kx}}{1 - e^{-k}} \right)

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