複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺の複素数を極形式で表します。

$w = -8 - 8\sqrt{3}i$ とすると、

$|w| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$

偏角 $\theta$ は、

$\cos\theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$, $\sin\theta = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

より、$\theta = \frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、$w = 16(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$ となります。

次に、$z^4 = w$ を満たす $z$ を求めます。

$z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ とおくと、

$z^4 = r^4(\cos(4\phi) + i\sin(4\phi))$

したがって、$r^4 = 16$ より $r = 2$ （$r$は正の実数）

$4\phi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, ($k$は整数)

$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$

$k = 0, 1, 2, 3$ に対して異なる解が得られます。

$k = 0$ のとき $\phi = \frac{\pi}{3}$

$k = 1$ のとき $\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$

$k = 2$ のとき $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

$k = 3$ のとき $\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$

したがって、解は

$z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$

$z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$z = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$

$z = 2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$

3. 最終的な答え

$z = 1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} + i, -1 - i\sqrt{3}, \sqrt{3} - i$