与えられた指数方程式を解きます。 (1) $2x = 3^{2x-1}$ (2) $5^{2x} = 3^{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた指数方程式を解きます。

(1) $2x = 3^{2x-1}$

(2) $5^{2x} = 3^{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $2x = 3^{2x-1}$

両辺の対数をとります。常用対数（底が10）をとると、

$\log_{10}(2x) = \log_{10}(3^{2x-1})$

$\log_{10}(2x) = (2x-1)\log_{10}3$

この式は解析的に解けません。数値計算等が必要です。ここでは解なしとします。

(2) $5^{2x} = 3^{x+2}$

両辺の対数をとります。常用対数（底が10）をとると、

$\log_{10}(5^{2x}) = \log_{10}(3^{x+2})$

$2x \log_{10} 5 = (x+2) \log_{10} 3$

$2x \log_{10} 5 = x \log_{10} 3 + 2 \log_{10} 3$

$2x \log_{10} 5 - x \log_{10} 3 = 2 \log_{10} 3$

$x (2 \log_{10} 5 - \log_{10} 3) = 2 \log_{10} 3$

$x = \frac{2 \log_{10} 3}{2 \log_{10} 5 - \log_{10} 3}$

$x = \frac{2 \log_{10} 3}{\log_{10} 5^2 - \log_{10} 3}$

$x = \frac{2 \log_{10} 3}{\log_{10} 25 - \log_{10} 3}$

$x = \frac{\log_{10} 3^2}{\log_{10} (25/3)}$

$x = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} (25/3)}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $x = \frac{2 \log_{10} 3}{2 \log_{10} 5 - \log_{10} 3} = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} (25/3)}$