初項が1、第4項が13である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項と、初項から第n項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が1、第4項が13である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項と、初項から第n項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項 $a_n$ を求めます。

等差数列の一般項は、初項を $a$、公差を $d$ とすると $a_n = a + (n-1)d$ で表されます。

問題より、初項 $a=1$、第4項が13なので、$a_4 = 13$ となります。

$a_4 = a + (4-1)d = 1 + 3d = 13$

$3d = 12$

$d = 4$

よって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3$

$a_n = 4n - 3$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

$a_1 = 1$ であり、$a_n = 4n - 3$ であるから、

$S_n = \frac{n}{2}(1 + 4n - 3) = \frac{n}{2}(4n - 2) = n(2n - 1) = 2n^2 - n$

$S_n = 2n^2 - n$

3. 最終的な答え

一般項：$a_n = 4n - 3$

初項から第n項までの和：$S_n = 2n^2 - n$