第3項が81、第6項が2187である等比数列$\{a_n\}$の一般項と、初項から第n項までの和を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

第3項が81、第6項が2187である等比数列$\{a_n\}$の一般項と、初項から第n項までの和を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を$a_n = a r^{n-1}$とおく。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

問題文より、

第3項が81なので、$a_3 = ar^2 = 81$

第6項が2187なので、$a_6 = ar^5 = 2187$

$ar^5 = 2187$を$ar^2 = 81$で割ると、

$\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{2187}{81}$

$r^3 = 27$

$r = 3$（$r$は実数なので）

$ar^2 = 81$に$r = 3$を代入すると、

$a(3^2) = 81$

$9a = 81$

$a = 9$

よって、一般項$a_n$は、

$a_n = 9 \cdot 3^{n-1} = 3^2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n+1}$

初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{9(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2}$

3. 最終的な答え

一般項：$a_n = 3^{n+1}$

初項から第$n$項までの和：$S_n = \frac{9(3^n - 1)}{2}$