与えられた対数の式 $\log_{5}10 - \log_{5}\frac{2}{\sqrt{5}}$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_{5}10 - \log_{5}\frac{2}{\sqrt{5}}$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質 $\log_a{x} - \log_a{y} = \log_a{\frac{x}{y}}$ を用いて、式をまとめます。

$\log_{5}10 - \log_{5}\frac{2}{\sqrt{5}} = \log_{5}\frac{10}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$

次に、$\frac{10}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$ を簡略化します。

$\frac{10}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}$

よって、$\log_{5}\frac{10}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \log_{5}(5\sqrt{5})$ となります。

さらに、$5\sqrt{5}$ を $5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ と書き換えることができます。これは $5^{\frac{3}{2}}$ と同じです。

したがって、$\log_{5}(5\sqrt{5}) = \log_{5}(5^{\frac{3}{2}})$ となります。

対数の性質 $\log_{a}{a^x} = x$ を用いると、$\log_{5}(5^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$