与えられた対数計算 $ \log_{2}{\frac{4}{3}} + 2\log_{2}{\sqrt{12}} $ を計算し、簡略化された値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数計算 $\log_{2}{\frac{4}{3}} + 2\log_{2}{\sqrt{12}}$ を計算し、簡略化された値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を簡略化します。

(1) $2\log_{2}{\sqrt{12}}$ の項を簡略化します。

$2\log_{2}{\sqrt{12}} = \log_{2}{(\sqrt{12})^2} = \log_{2}{12}$

(2) 与えられた式を書き換えます。

$\log_{2}{\frac{4}{3}} + 2\log_{2}{\sqrt{12}} = \log_{2}{\frac{4}{3}} + \log_{2}{12}$

(3) 対数の和を積に変換します。

$\log_{2}{\frac{4}{3}} + \log_{2}{12} = \log_{2}{(\frac{4}{3} \times 12)} = \log_{2}{16}$

(4) $16 = 2^4$ なので、$\log_{2}{16}$ を計算します。

$\log_{2}{16} = \log_{2}{2^4} = 4$

3. 最終的な答え

$4$