3点 A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7) を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7) を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

この円が点 A, B, C を通るので、それぞれの方程式に座標を代入します。

点 A(0, 6) を代入すると:

$0^2 + 6^2 + l(0) + m(6) + n = 0$

$36 + 6m + n = 0$

点 B(1, -1) を代入すると:

$1^2 + (-1)^2 + l(1) + m(-1) + n = 0$

$1 + 1 + l - m + n = 0$

$2 + l - m + n = 0$

点 C(-3, 7) を代入すると:

$(-3)^2 + 7^2 + l(-3) + m(7) + n = 0$

$9 + 49 - 3l + 7m + n = 0$

$58 - 3l + 7m + n = 0$

これで3つの式が得られました。

$6m + n = -36$ ...(1)

$l - m + n = -2$ ...(2)

$-3l + 7m + n = -58$ ...(3)

(2) - (1) より:

$l - 7m = 34$ ...(4)

(3) - (1) より:

$-3l + m = -22$ ...(5)

(4)より、$l = 7m + 34$

これを(5)に代入すると:

$-3(7m + 34) + m = -22$

$-21m - 102 + m = -22$

$-20m = 80$

$m = -4$

$l = 7(-4) + 34 = -28 + 34 = 6$

(1)より、$n = -36 - 6m = -36 - 6(-4) = -36 + 24 = -12$

したがって、$l = 6, m = -4, n = -12$ となり、求める円の方程式は:

$x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$

平方完成すると:

$(x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 - 12 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

中心は (-3, 2) で、半径は 5 の円になります。

3. 最終的な答え

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$