$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

$|\vec{a}-\vec{b}|^2$を計算します。

$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$

したがって、

$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta} + |\vec{b}|^2$$

与えられた値を代入します。

$$(\sqrt{7})^2 = 2^2 - 2(2)(3) \cos{\theta} + 3^2$$

$$7 = 4 - 12 \cos{\theta} + 9$$

$$7 = 13 - 12 \cos{\theta}$$

$$12 \cos{\theta} = 13 - 7 = 6$$

$$\cos{\theta} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

$$\theta = \arccos{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$$

3. 最終的な答え

$\theta = 60^{\circ}$