問題5：2直線 $3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 直線 $2x+3y=0$ に平行 (2) 直線 $2x+3y=0$ に垂直 問題8(1)：2点 $A(4, -2)$ と $B(-2, 6)$ を通る直線 $l$ の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題5：2直線 $3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 直線 $2x+3y=0$ に平行

(2) 直線 $2x+3y=0$ に垂直

問題8(1)：2点 $A(4, -2)$ と $B(-2, 6)$ を通る直線 $l$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

問題5：

(1) 2直線 $3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を求める。

$3x-4y+5=0$ (1)

$2x+y-4=0$ (2)

(2)より $y = 4 - 2x$。これを(1)に代入すると

$3x - 4(4 - 2x) + 5 = 0$

$3x - 16 + 8x + 5 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$y = 4 - 2(1) = 2$

交点は $(1, 2)$。

求める直線は $2x+3y=0$ に平行なので、傾きは $-\frac{2}{3}$。

よって、求める直線の方程式は、

$y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1)$

$3(y - 2) = -2(x - 1)$

$3y - 6 = -2x + 2$

$2x + 3y - 8 = 0$

(2) 求める直線は $2x+3y=0$ に垂直なので、傾きの積は $-1$。

$2x + 3y = 0$ より $y = -\frac{2}{3}x$ なので、傾きは $-\frac{2}{3}$。

垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$-\frac{2}{3}m = -1$ なので、$m = \frac{3}{2}$。

よって、求める直線の方程式は、

$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1)$

$2(y - 2) = 3(x - 1)$

$2y - 4 = 3x - 3$

$3x - 2y + 1 = 0$

問題8(1)：

2点 $A(4, -2)$ と $B(-2, 6)$ を通る直線 $l$ の傾きを求める。

$m = \frac{6 - (-2)}{-2 - 4} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

よって、直線の方程式は

$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

$3(y + 2) = -4x + 16$

$3y + 6 = -4x + 16$

$4x + 3y - 10 = 0$

3. 最終的な答え

問題5：

(1) $2x + 3y - 8 = 0$

(2) $3x - 2y + 1 = 0$

問題8(1)：

$4x + 3y - 10 = 0$