点 $A(1, -2)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を持つ直線の、ベクトル方程式、媒介変数表示、媒介変数を消去した方程式を求めます。

## Q1.19 (1) の問題を解きます。

1. 問題の内容

点 $A(1, -2)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を持つ直線の、ベクトル方程式、媒介変数表示、媒介変数を消去した方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル方程式:

直線上の任意の点を $P(x, y)$ とすると、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ は $\vec{v}$ の実数倍で表せるので、ベクトル方程式は次のようになります。

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\vec{v}$

ここで、$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 媒介変数表示:

ベクトル方程式を成分ごとに書き出すと、次のようになります。

$x = 1 + 2t$

$y = -2 - t$

これが媒介変数表示です。

(3) 媒介変数を消去した方程式:

上の2式から媒介変数 $t$ を消去します。

$y = -2 - t$ より $t = -y - 2$ です。

これを $x = 1 + 2t$ に代入すると、

$x = 1 + 2(-y - 2)$

$x = 1 - 2y - 4$

$x = -2y - 3$

よって、媒介変数を消去した方程式は $x + 2y + 3 = 0$ です。

3. 最終的な答え

* ベクトル方程式: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

* 媒介変数表示: $x = 1 + 2t$, $y = -2 - t$

* 媒介変数を消去した方程式: $x + 2y + 3 = 0$