原点Oを通り、方向ベクトルが$\mathbf{p}$の直線L（$\mathbf{p}$は単位ベクトル）を考える。 $\langle \mathbf{a}, \mathbf{p} \rangle = -1$であるとき、Oを始点とするベクトル$\mathbf{a}$の終点をLへ正射影した点は、Oからの距離が(1)で、$\mathbf{p}$と(2:同じ、反対)向きにある。(1)に入る値と(2)に入る語句を答える問題。

1. 問題の内容

原点Oを通り、方向ベクトルが$\mathbf{p}$の直線L（$\mathbf{p}$は単位ベクトル）を考える。

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{p} \rangle = -1$であるとき、Oを始点とするベクトル$\mathbf{a}$の終点をLへ正射影した点は、Oからの距離が(1)で、$\mathbf{p}$と(2:同じ、反対)向きにある。(1)に入る値と(2)に入る語句を答える問題。

2. 解き方の手順

ベクトル$\mathbf{a}$の終点を直線Lへ正射影した点を$\mathbf{b}$とする。$\mathbf{b}$は$\mathbf{p}$の定数倍で表せるので、$\mathbf{b} = k\mathbf{p}$と表すことができる。

正射影の定義より、$\mathbf{a} - \mathbf{b}$は$\mathbf{p}$と直交する。つまり、$\langle \mathbf{a} - \mathbf{b}, \mathbf{p} \rangle = 0$が成り立つ。

これを展開すると、$\langle \mathbf{a}, \mathbf{p} \rangle - \langle \mathbf{b}, \mathbf{p} \rangle = 0$となる。問題文より、$\langle \mathbf{a}, \mathbf{p} \rangle = -1$である。また、$\mathbf{b} = k\mathbf{p}$なので、$\langle \mathbf{b}, \mathbf{p} \rangle = \langle k\mathbf{p}, \mathbf{p} \rangle = k \langle \mathbf{p}, \mathbf{p} \rangle = k \|\mathbf{p}\|^2 = k$となる（$\mathbf{p}$は単位ベクトルなので、$\|\mathbf{p}\|^2 = 1$）。

したがって、$-1 - k = 0$より、$k = -1$となる。

$\mathbf{b} = k\mathbf{p} = -\mathbf{p}$である。

Oからの距離は$\|\mathbf{b}\| = \|-\mathbf{p}\| = \|\mathbf{p}\| = 1$である。

$\mathbf{b} = -\mathbf{p}$なので、$\mathbf{b}$は$\mathbf{p}$と反対向きである。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 反対