$\mathbb{R}^2$ 上の3点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に垂線を下ろし、その交点を $D$ とする。点 $D$ の座標を内積を使って計算する。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^2$ 上の3点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に垂線を下ろし、その交点を $D$ とする。点 $D$ の座標を内積を使って計算する。

2. 解き方の手順

まず、点 $D$ は直線 $OP$ 上にあるので、$D = kP$ と表せる。ここで、$k$ は実数である。つまり、$D = \begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix}$ である。

次に、ベクトル $\overrightarrow{QD}$ はベクトル $\overrightarrow{OP}$ に垂直である。したがって、$\overrightarrow{QD} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{QD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3k-1 \\ k-4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$\overrightarrow{QD} \cdot \overrightarrow{OP} = (3k-1) \cdot 3 + (k-4) \cdot 1 = 0$

$9k - 3 + k - 4 = 0$

$10k - 7 = 0$

$10k = 7$

$k = \frac{7}{10}$

したがって、$D = \frac{7}{10}P = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$D = \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$