問題5：2直線 $3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。 (1) 直線 $2x+3y=0$ に平行な直線 (2) 直線 $2x+3y=0$ に垂直な直線

1. 問題の内容

問題5：2直線 $3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。

(1) 直線 $2x+3y=0$ に平行な直線

(2) 直線 $2x+3y=0$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

まず、$3x-4y+5=0$ と $2x+y-4=0$ の交点を求めます。

$2x+y-4=0$ より、$y = 4 - 2x$。これを $3x-4y+5=0$ に代入すると、

$3x - 4(4 - 2x) + 5 = 0$

$3x - 16 + 8x + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$x = 1$

$y = 4 - 2(1) = 2$

よって、交点の座標は $(1, 2)$ です。

(1) 直線 $2x+3y=0$ に平行な直線は、$2x+3y+k=0$ と表せます。この直線が点 $(1, 2)$ を通るので、

$2(1) + 3(2) + k = 0$

$2 + 6 + k = 0$

$k = -8$

したがって、求める直線の方程式は $2x+3y-8=0$ です。

(2) 直線 $2x+3y=0$ に垂直な直線は、$3x-2y+k=0$ と表せます。この直線が点 $(1, 2)$ を通るので、

$3(1) - 2(2) + k = 0$

$3 - 4 + k = 0$

$k = 1$

したがって、求める直線の方程式は $3x-2y+1=0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $2x+3y-8=0$

(2) $3x-2y+1=0$