点(3, 0)から楕円 $x^2 + 4y^2 = 4$に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点(3, 0)から楕円 $x^2 + 4y^2 = 4$に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、楕円の式を変形します。

$x^2 + 4y^2 = 4$の両辺を4で割ると、

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

となります。

次に、接点の座標を $(x_1, y_1)$とおきます。

このとき、接線の方程式は

$\frac{x_1x}{4} + y_1y = 1$

と表されます。

この接線が点(3, 0)を通るので、

$\frac{3x_1}{4} + 0 \cdot y_1 = 1$

$\frac{3x_1}{4} = 1$

$x_1 = \frac{4}{3}$

点$(x_1, y_1)$は楕円上の点でもあるので、

$\frac{x_1^2}{4} + y_1^2 = 1$

$x_1 = \frac{4}{3}$を代入すると、

$\frac{(\frac{4}{3})^2}{4} + y_1^2 = 1$

$\frac{\frac{16}{9}}{4} + y_1^2 = 1$

$\frac{4}{9} + y_1^2 = 1$

$y_1^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$y_1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

よって、接点の座標は $(\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$と$(\frac{4}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$の2つあります。

接線の方程式は、$\frac{x_1x}{4} + y_1y = 1$なので、

(1) 接点が$(\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$のとき、

$\frac{(\frac{4}{3})x}{4} + (\frac{\sqrt{5}}{3})y = 1$

$\frac{x}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}y = 1$

$x + \sqrt{5}y = 3$

(2) 接点が$(\frac{4}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$のとき、

$\frac{(\frac{4}{3})x}{4} + (-\frac{\sqrt{5}}{3})y = 1$

$\frac{x}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}y = 1$

$x - \sqrt{5}y = 3$

3. 最終的な答え

接点の座標: $(\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$, $(\frac{4}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$

接線の方程式: $x + \sqrt{5}y = 3$, $x - \sqrt{5}y = 3$