三角形ABCにおいて、与えられた角度と辺の情報から、指定された辺の長さ $a$ と $b$ をそれぞれ求める問題です。 (1)では、角Aが45度、角Bが30度、辺ACの長さが1のとき、辺BCの長さ $a$ を求めます。 (2)では、角Aが45度、角Bが60度、辺BCの長さが2のとき、辺ACの長さ $b$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた角度と辺の情報から、指定された辺の長さ $a$ と $b$ をそれぞれ求める問題です。

(1)では、角Aが45度、角Bが30度、辺ACの長さが1のとき、辺BCの長さ $a$ を求めます。

(2)では、角Aが45度、角Bが60度、辺BCの長さが2のとき、辺ACの長さ $b$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理より、$\frac{1}{\sin{30^\circ}} = \frac{a}{\sin{45^\circ}}$が成り立ちます。

したがって、$a = \frac{1}{\sin{30^\circ}} \times \sin{45^\circ}$となります。

$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$、$\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、$a = \frac{1}{\frac{1}{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$となります。

(2)

正弦定理より、$\frac{b}{\sin{60^\circ}} = \frac{2}{\sin{45^\circ}}$が成り立ちます。

したがって、$b = \frac{2}{\sin{45^\circ}} \times \sin{60^\circ}$となります。

$\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、$b = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{2}$

(2) $b = \sqrt{6}$