底面が $AC=DF=16$ cmの三角形で、高さが9cmの三角柱がある。点Bから辺ACに下ろした垂線と辺ACとの交点をHとすると、$AH=6$cm, $BH=5$cmである。 (1) この三角柱の体積を求めなさい。 (2) 線分CH上に$AB=BG$となる点Gをとり、線分FG上に点Pをとる。 (ア) 線分CGの長さを求めなさい。 (イ) Bを頂点とし、四角形DPGHを底面とする四角錐の体積が95cm³であるとき、$△DPG$の面積を求めなさい。

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

底面が $AC=DF=16$ cmの三角形で、高さが9cmの三角柱がある。点Bから辺ACに下ろした垂線と辺ACとの交点をHとすると、$AH=6$cm, $BH=5$cmである。

(1) この三角柱の体積を求めなさい。

(2) 線分CH上に$AB=BG$となる点Gをとり、線分FG上に点Pをとる。

(ア) 線分CGの長さを求めなさい。

(イ) Bを頂点とし、四角形DPGHを底面とする四角錐の体積が95cm³であるとき、$△DPG$の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱の体積は、底面積×高さで求められます。底面積は三角形ABCの面積なので、$1/2 \times AC \times BH$で計算できます。

三角柱の体積 = $(1/2 \times AC \times BH) \times 高さ$

(2) (ア)

$AB=BG$となる点Gについて、$△ABH$において、$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2}$が成り立ちます。これにより$AB$の長さを求め、$CH = AC - AH$から$CH$の長さを求めます。$△BGC$は二等辺三角形であることから、$CG$の長さを求めることができます。

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2}$

$CH = AC - AH$

$AB=BG$

(2) (イ)

四角錐の体積 = $1/3 \times 底面積 \times 高さ$

四角錐の体積が95cm³であり、底面は四角形DPGHなので、その面積をSとすると、

$95 = 1/3 \times S \times (ADの長さ)$

ADの長さ=9cmなので、Sを求めると、

$95 = 1/3 \times S \times 9$

$S = 95/3 \times 3 = 95/3 = 95/3$ cm²

四角形DPGHの面積Sは、$△ADG + △DGH$で構成されています。また、$△ADG$と$△DPG$は辺DGを共有しています。

$△DPG$の面積をxとすると、$△ADG = x$です。

$△DGH = 1/2 \times DH \times DG$

$△ADG = △DGH$であり、$四角形DPGH = 95/3$cm²であることから、$△DPG$の面積を逆算することができます。

3. 最終的な答え

(1) 三角柱の体積

$1/2 \times 16 \times 5 \times 9 = 40 \times 9 = 360$ cm³

(2) (ア) CGの長さ

$AB = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36+25} = \sqrt{61}$ cm

$CH = 16 - 6 = 10$ cm

$BG = \sqrt{61}$

$CG = CH = 10$ cm

(2) (イ) $△DPG$の面積

$△ADG = △DGH$

$△ADG+△DGH = 95/3$

$2△DGH = 95/3$

$△DGH = 95/6$

$△ADG = 95/6$ cm²

したがって、$△DPG = △ADG = 95/6$cm²

(1) 360 cm³

(2) (ア) $CG=10$ cm

(イ) $△DPG = 95/6$ cm²