(4) 三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7である。三角形ABCの外接円の半径をRとする。$\cos \angle ABC$と$\sin \angle ABC$を求め、それからRを求める。 (5) 5人の生徒の英語の試験の得点は58, 65, 72, x, 76(点)であった。5人の得点の平均が71(点)のとき、xの値と5人の得点の分散を求める。

1. 問題の内容

(4) 三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7である。三角形ABCの外接円の半径をRとする。$\cos \angle ABC$と$\sin \angle ABC$を求め、それからRを求める。

(5) 5人の生徒の英語の試験の得点は58, 65, 72, x, 76(点)であった。5人の得点の平均が71(点)のとき、xの値と5人の得点の分散を求める。

2. 解き方の手順

(4)

まず、余弦定理を用いて$\cos \angle ABC$を求める。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos \angle ABC$

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos \angle ABC$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos \angle ABC$

$49 = 34 - 30 \cos \angle ABC$

$15 = -30 \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を用いて$\sin \angle ABC$を求める。

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$

$\sin^2 \angle ABC + (-\frac{1}{2})^2 = 1$

$\sin^2 \angle ABC + \frac{1}{4} = 1$

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

最後に、正弦定理を用いてRを求める。

$\frac{CA}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(5)

5人の得点の平均が71なので、

$\frac{58 + 65 + 72 + x + 76}{5} = 71$

$58 + 65 + 72 + x + 76 = 71 * 5$

$271 + x = 355$

$x = 355 - 271 = 84$

次に、分散を求める。分散は各データの平均からのずれの二乗の平均である。

各データの平均からのずれは、

$58 - 71 = -13$

$65 - 71 = -6$

$72 - 71 = 1$

$84 - 71 = 13$

$76 - 71 = 5$

ずれの二乗は、

$(-13)^2 = 169$

$(-6)^2 = 36$

$1^2 = 1$

$13^2 = 169$

$5^2 = 25$

ずれの二乗の平均は、

$\frac{169 + 36 + 1 + 169 + 25}{5} = \frac{400}{5} = 80$

3. 最終的な答え

(4)

$\cos \angle ABC = -\frac{1}{2}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(5)

$x = 84$

分散 = 80