与えられた三角柱について、以下の3つの問いに答えます。 (1) この三角柱の体積を求めます。 (2) $AB = BG$となる点Gを線分CH上にとり、線分FG上に点Pをとります。このとき、線分CGの長さを求めます。 (3) 点Bを頂点とし、四角形DPGHを底面とする四角錐の体積が$95 cm^3$であるとき、三角形DPGの面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角柱について、以下の3つの問いに答えます。

(1) この三角柱の体積を求めます。

(2) $AB = BG$となる点Gを線分CH上にとり、線分FG上に点Pをとります。このとき、線分CGの長さを求めます。

(3) 点Bを頂点とし、四角形DPGHを底面とする四角錐の体積が$95 cm^3$であるとき、三角形DPGの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱の体積を求める。

底面積である三角形ABCの面積を計算し、高さである9cmをかけます。三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AC \times BH$で計算できます。与えられた値より、$AC = 16cm$、$BH = 5cm$なので、三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times 16 \times 5 = 40 cm^2$となります。したがって、三角柱の体積は、$40 \times 9 = 360 cm^3$です。

(2) 線分CGの長さを求める。

三角形ABHにおいて、$AB^2 = AH^2 + BH^2$なので、$AB = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$です。

$AB = BG$なので、$BG = \sqrt{61}$です。

$CH = AC - AH = 16 - 6 = 10cm$です。

$CG = x$とすると、$BG = \sqrt{BF^2 + FG^2}$の関係を考えなければいけませんが、$FG$上に点Pを取る状況なので、点Gの位置を特定する必要があります。

$AB=BG$となる点Gを線分CH上にとるので、$\triangle ABH$と$\triangle BCG$について考えます。

$CH = AC - AH = 16 - 6 = 10$

$\triangle ABH$において$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36+25} = \sqrt{61}$

$BG = AB = \sqrt{61}$

$\triangle BCG$は一般の三角形なので、$BG = \sqrt{BC^2 + CG^2 - 2 BC \cdot CG \cos \angle BCG}$より$CG$を求めようとしても難しいです。

$AC$上に点Hがあり、$AH = 6, AC = 16$より、$HC = 16-6 = 10$です。

線分$CH$上に点$G$があり、$AB=BG$です。$CG = x$とします。

ここで、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をIとすると、$\triangle ABH \sim \triangle ACI$とは限りません。

$BH = 5$，$AH = 6$，$AC = 16$であることと、$AB = BG$であることより、$BG = \sqrt{61}$

点Gは線分CH上にあるので、$CH = 10$です。

点Gをどこかに仮定して考えるのではなく、点Gはあくまで$CH$上にあるという条件だけを使う必要があります。

問題文に図があるので、$BC$と$AB$の長さの関係が見た目でおおよそわかるのですが、正確な長さはわからず、$CG$の長さを求めるのは難しいです。

(3) 四角錐の体積から三角形DPGの面積を求める。

四角錐B-DPGHの体積は95 $cm^3$です。四角錐の体積は$\frac{1}{3} \times$底面積$\times$高さで求められます。

したがって、$\frac{1}{3} \times$四角形DPGHの面積$\times$BH = 95となります。$BH = 5cm$なので、

$\frac{1}{3} \times$四角形DPGHの面積$\times 5 = 95$

四角形DPGHの面積$= \frac{95 \times 3}{5} = 19 \times 3 = 57 cm^2$となります。

四角形DPGHの面積は、$\triangle DPG$の面積 + $\triangle HPG$の面積で表されます。

したがって、$\triangle DPG + \triangle HPG = 57$となります。

ここで、点Pは線分FG上にあるので、$\triangle HPG$は、$\triangle HFG \times \frac{FP}{FG}$で表されます。

$FG$の長さが不明なので、$\triangle HPG$の面積も計算できません。

3. 最終的な答え

(1) 三角柱の体積: $360 cm^3$

(2) 線分CGの長さ: 解答不能

(3) 三角形DPGの面積: 解答不能