(1) $b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。 (2) $b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$ のとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

(2) $b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$ のとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、次の公式で求められる。

$S = \frac{1}{2} bc \sin A$

与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

与えられた値を代入すると、

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2) \cos 135^\circ$

$\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2) (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$a^2 = 8 + 4 + 8 = 20$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 3\sqrt{3}$

(2) $a = 2\sqrt{5}$