座標平面上において、長さが9である線分ABがある。点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動くとき、線分ABを1:2に内分する点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上において、長さが9である線分ABがある。点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動くとき、線分ABを1:2に内分する点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Aの座標を $(s, 0)$、点Bの座標を $(0, t)$とする。線分ABの長さが9であることから、

$s^2 + t^2 = 9^2 = 81$

点Pの座標を $(x, y)$とする。点Pは線分ABを1:2に内分するので、内分点の公式より

$x = \frac{2s + 1 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{2s}{3}$

$y = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot t}{1 + 2} = \frac{t}{3}$

したがって、$s = \frac{3}{2}x$、$t = 3y$となる。

$s^2 + t^2 = 81$に代入すると、

$(\frac{3}{2}x)^2 + (3y)^2 = 81$

$\frac{9}{4}x^2 + 9y^2 = 81$

両辺を9で割ると

$\frac{1}{4}x^2 + y^2 = 9$

両辺に4を掛けると

$x^2 + 4y^2 = 36$

両辺を36で割ると

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$

これは楕円の式である。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$