点 $F(0, 2)$ からの距離と、直線 $y = -1$ からの距離の比が $1:2$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $F(0, 2)$ からの距離と、直線 $y = -1$ からの距離の比が $1:2$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

点 $P(x, y)$ と点 $F(0, 2)$ の距離は $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}$ です。

点 $P(x, y)$ と直線 $y = -1$ の距離は $|y - (-1)| = |y + 1|$ です。

問題文より、これらの距離の比が $1:2$ なので、

$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} : |y + 1| = 1 : 2$

つまり、

$2\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = |y + 1|$

両辺を2乗すると、

$4(x^2 + (y - 2)^2) = (y + 1)^2$

$4(x^2 + y^2 - 4y + 4) = y^2 + 2y + 1$

$4x^2 + 4y^2 - 16y + 16 = y^2 + 2y + 1$

$4x^2 + 3y^2 - 18y + 15 = 0$

$4x^2 + 3(y^2 - 6y) + 15 = 0$

$4x^2 + 3(y^2 - 6y + 9 - 9) + 15 = 0$

$4x^2 + 3(y - 3)^2 - 27 + 15 = 0$

$4x^2 + 3(y - 3)^2 - 12 = 0$

$4x^2 + 3(y - 3)^2 = 12$

$\frac{x^2}{3} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{3} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$