2点 $(0, 3)$, $(0, -3)$ を焦点とし、短軸の長さが4である楕円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $(0, 3)$, $(0, -3)$ を焦点とし、短軸の長さが4である楕円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

楕円の中心は2つの焦点の中点であるから、$(0, 0)$ である。

焦点がy軸上にあるので、楕円の式は

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

の形になる。ここで、$a > b > 0$ である。

短軸の長さが4であるから、$2b = 4$, つまり $b = 2$。したがって、$b^2 = 4$。

焦点の座標は $(0, \pm c)$ であり、$c = 3$ である。

楕円の性質より、$a^2 - b^2 = c^2$ が成り立つ。

$a^2 - 4 = 9$

$a^2 = 13$

したがって、楕円の方程式は

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{13} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{13} = 1$