$0^\circ < \theta < 90^\circ$ で、$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ で、$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ の値を求める

三角関数の基本的な関係式

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

を利用します。$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{2}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(2) $\tan \theta$ の値を求める

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

の関係式を利用します。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$ と $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{14}}{2}$