円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + k$ について、 (1) 円と直線が共有点をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) 円と直線が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + k$ について、

(1) 円と直線が共有点をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) 円と直線が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{5}$ である。

直線 $y = 2x + k$ は $2x - y + k = 0$ と変形できる。

円と直線が共有点をもつ条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が円の半径 $\sqrt{5}$ 以下であることである。

点 $(0, 0)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$$

円と直線が共有点をもつ条件は、$d \le \sqrt{5}$ なので、

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} \le \sqrt{5}$$

$$|k| \le 5$$

したがって、$-5 \le k \le 5$

(2) 円と直線が接する条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しいことである。

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$

$$|k| = 5$$

したがって、$k = 5$ または $k = -5$

$k = 5$ のとき、直線は $y = 2x + 5$ である。これを円の方程式に代入すると、

$$x^2 + (2x + 5)^2 = 5$$

$$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 5$$

$$5x^2 + 20x + 20 = 0$$

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$

$$(x + 2)^2 = 0$$

$x = -2$ であり、$y = 2(-2) + 5 = 1$

よって接点は $(-2, 1)$

$k = -5$ のとき、直線は $y = 2x - 5$ である。これを円の方程式に代入すると、

$$x^2 + (2x - 5)^2 = 5$$

$$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 5$$

$$5x^2 - 20x + 20 = 0$$

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

$x = 2$ であり、$y = 2(2) - 5 = -1$

よって接点は $(2, -1)$

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le k \le 5$

(2) $k = 5$ のとき、接点は $(-2, 1)$

$k = -5$ のとき、接点は $(2, -1)$