円 $C: x^2 + y^2 = 25$ と直線 $l: y = 3x + k$ が与えられている。 (1) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 25$ と直線 $l: y = 3x + k$ が与えられている。

(1) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ の中心は原点 (0, 0) であり、半径は 5 である。直線 $y = 3x + k$ は $3x - y + k = 0$ と書き換えられる。円と直線が共有点をもつ条件は、円の中心と直線との距離 $d$ が円の半径以下であることである。つまり、$d \leq 5$ である。

点 (0, 0) と直線 $3x - y + k = 0$ との距離 $d$ は、

$$d = \frac{|3(0) - (0) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$$

したがって、

$$\frac{|k|}{\sqrt{10}} \leq 5$$

$$|k| \leq 5\sqrt{10}$$

$$-5\sqrt{10} \leq k \leq 5\sqrt{10}$$

(2) 円と直線が接するとき、円の中心と直線との距離が円の半径に等しい。つまり、$d = 5$ である。

$$\frac{|k|}{\sqrt{10}} = 5$$

$$|k| = 5\sqrt{10}$$

$$k = \pm 5\sqrt{10}$$

$k = 5\sqrt{10}$ のとき、直線の方程式は $y = 3x + 5\sqrt{10}$ である。接点の座標を $(x_0, y_0)$ とすると、接線の方程式は $x_0x + y_0y = 25$ である。

$y = 3x + 5\sqrt{10}$ より、$3x - y + 5\sqrt{10} = 0$。

$x_0x + y_0y = 25$ より、$x_0x + y_0y - 25 = 0$。

円の中心から直線までの距離は、

$\frac{|3x_0-y_0|}{\sqrt{10}} = 5$

$3x_0 - y_0 = -5\sqrt{10}$ となる。

また、$y_0 = 3x_0 + 5\sqrt{10}$

$x_0^2 + y_0^2 = 25$ を満たす。

このとき、接線は円の中心と接点を結ぶ直線に垂直であるから、$y=3x+k$ の傾きは3であり、接点の傾きは$-\frac{1}{3}$である。また、接点は円周上にあるので、$x^2 + y^2 = 25$を満たす。

$k=5\sqrt{10}$のとき、接点は$(\frac{-3\sqrt{10}}{2},\frac{-\sqrt{10}}{2})$

$k=-5\sqrt{10}$のとき、接点は$(\frac{3\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{10}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $-5\sqrt{10} \leq k \leq 5\sqrt{10}$

(2) $k = 5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(\frac{-3\sqrt{10}}{2}, \frac{-\sqrt{10}}{2})$

$k = -5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2})$