与えられた円錐の展開図について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 側面のおうぎ形の弧の長さを求めます。 (2) 側面のおうぎ形の中心角を求めます。 (3) 円錐の表面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた円錐の展開図について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さを求めます。

(2) 側面のおうぎ形の中心角を求めます。

(3) 円錐の表面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しいです。底面の半径が2cmなので、円周の長さは $2 \pi r = 2 \pi \times 2 = 4 \pi$ cmとなります。

(2) 側面のおうぎ形の中心角を $\theta$ とします。おうぎ形の弧の長さは $4\pi$ cm、半径（母線）は6cmです。おうぎ形の弧の長さは、円周の長さ $2 \pi r$ に $\frac{\theta}{360}$ を掛けたものに等しいので、以下の式が成り立ちます。

$4 \pi = 2 \pi \times 6 \times \frac{\theta}{360}$

$4 \pi = 12 \pi \times \frac{\theta}{360}$

$\frac{4}{12} = \frac{\theta}{360}$

$\frac{1}{3} = \frac{\theta}{360}$

$\theta = \frac{360}{3} = 120$ 度

(3) 円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められます。

底面積は、半径2cmの円の面積なので、$\pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4 \pi$ cm$^2$です。

側面積は、半径6cm、中心角120度のおうぎ形の面積なので、$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360} = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 36 \pi \times \frac{1}{3} = 12 \pi$ cm$^2$です。

したがって、円錐の表面積は $4 \pi + 12 \pi = 16 \pi$ cm$^2$となります。

3. 最終的な答え

(1) 側面の扇形の弧の長さ: $4\pi$ cm

(2) 側面の扇形の中心角: 120 度

(3) 円錐の表面積: $16\pi$ cm$^2$