座標平面上の2点 $(-2, 6)$, $(6, 2)$ を通る円について、 (ア) 円の中心がどの直線状にあるか求める。 (イ) さらに、直線 $x = -4$ に接する円のうち、半径が小さい方の円の半径と中心の座標を求める。

## (1) の解答

1. 問題の内容

座標平面上の2点 $(-2, 6)$, $(6, 2)$ を通る円について、

(ア) 円の中心がどの直線状にあるか求める。

(イ) さらに、直線 $x = -4$ に接する円のうち、半径が小さい方の円の半径と中心の座標を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

円の中心は、円周上の2点からの距離が等しい点である。

つまり、2点 $(-2, 6)$, $(6, 2)$ を結ぶ線分の垂直二等分線上に中心がある。

線分の中点は $\left( \frac{-2+6}{2}, \frac{6+2}{2} \right) = (2, 4)$

線分の傾きは $\frac{2-6}{6-(-2)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

垂直二等分線の傾きは $2$

よって、垂直二等分線の方程式は $y - 4 = 2(x - 2)$ より

$y = 2x - 4 + 4 = 2x$

(イ)

円の中心を $(t, 2t)$ とおく。円が直線 $x = -4$ に接するので、半径は $|t + 4|$ となる。

円は $(-2, 6)$ を通るので、

$(t + 2)^2 + (2t - 6)^2 = (t + 4)^2$

$t^2 + 4t + 4 + 4t^2 - 24t + 36 = t^2 + 8t + 16$

$4t^2 - 28t + 24 = 0$

$t^2 - 7t + 6 = 0$

$(t - 1)(t - 6) = 0$

$t = 1, 6$

$t = 1$ のとき、中心は $(1, 2)$、半径は $|1 + 4| = 5$

$t = 6$ のとき、中心は $(6, 12)$、半径は $|6 + 4| = 10$

半径が小さい方の円は、半径 $5$、中心 $(1, 2)$

3. 最終的な答え

(ア) $y = 2x$

(イ) 半径 $5$、中心 $(1, 2)$

## (2) の解答

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0$ と直線 $l: 2ax - y - 2a = 0$ について、

(ア) $C$ と $l$ が異なる2点 $P, Q$ で交わるときの、$a$ の値の範囲を求める。

(イ) 線分 $PQ$ の長さが $\sqrt{2}$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

円 $C$ の方程式を変形すると $x^2 + (y - 2)^2 = 1$

これは中心 $(0, 2)$, 半径 $1$ の円である。

直線 $l$ の式を変形すると $y = 2ax - 2a = 2a(x - 1)$

これは点 $(1, 0)$ を通る傾き $2a$ の直線である。

円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるためには、円の中心と直線の距離が半径より小さくなければならない。

円の中心 $(0, 2)$ と直線 $2ax - y - 2a = 0$ の距離は

$\frac{|2a \cdot 0 - 2 - 2a|}{\sqrt{(2a)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 - 2a|}{\sqrt{4a^2 + 1}} = \frac{2|a + 1|}{\sqrt{4a^2 + 1}} < 1$

$4(a + 1)^2 < 4a^2 + 1$

$4(a^2 + 2a + 1) < 4a^2 + 1$

$4a^2 + 8a + 4 < 4a^2 + 1$

$8a < -3$

$a < -\frac{3}{8}$

(イ)

線分 $PQ$ の長さが $\sqrt{2}$ となるのは、円の中心から線分 $PQ$ までの距離を $d$ とすると、

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + d^2 = 1^2$ が成り立つときである。

$\frac{1}{2} + d^2 = 1$

$d^2 = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$\frac{2|a + 1|}{\sqrt{4a^2 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{4(a + 1)^2}{4a^2 + 1} = \frac{1}{2}$

$8(a + 1)^2 = 4a^2 + 1$

$8(a^2 + 2a + 1) = 4a^2 + 1$

$8a^2 + 16a + 8 = 4a^2 + 1$

$4a^2 + 16a + 7 = 0$

$a = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{-16 \pm 12}{8}$

$a = \frac{-16 + 12}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$a = \frac{-16 - 12}{8} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2}$

$a < -\frac{3}{8}$ より、どちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(ア) $a < -\frac{3}{8}$

(イ) $a = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}$

## (3) の解答

1. 問題の内容

$xy$ 平面上において、点 $(4, 3)$ を中心とする半径 $1$ の円と直線 $y = mx$ が共有点を持つとき、定数 $m$ のとりうる最大値を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1$

円と直線が共有点を持つためには、円の中心と直線の距離が半径以下であればよい。

円の中心 $(4, 3)$ と直線 $y = mx$、つまり $mx - y = 0$ の距離は

$\frac{|m \cdot 4 - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 1$

$(4m - 3)^2 \le m^2 + 1$

$16m^2 - 24m + 9 \le m^2 + 1$

$15m^2 - 24m + 8 \le 0$

解の公式より

$m = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 15 \cdot 8}}{2 \cdot 15} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 480}}{30} = \frac{24 \pm \sqrt{96}}{30} = \frac{24 \pm 4\sqrt{6}}{30} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{15}$

$m$ のとりうる範囲は $\frac{12 - 2\sqrt{6}}{15} \le m \le \frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$

$m$ の最大値は $\frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$