円 $C: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $l: y = ax$ について、以下の問いに答える。 (1) 円 $C$ の方程式を $x^2 + y^2 - Ax - By + U = 0$ の形で表す。 (2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値を求める。また、そのときの接点を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点 $A, B$ で交わるときの線分 $AB$ の長さを求める。また、$AB=2$ となるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $C: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $l: y = ax$ について、以下の問いに答える。

(1) 円 $C$ の方程式を $x^2 + y^2 - Ax - By + U = 0$ の形で表す。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値を求める。また、そのときの接点を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点 $A, B$ で交わるときの線分 $AB$ の長さを求める。また、$AB=2$ となるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式は $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ であり、展開すると $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 1$ となる。

したがって、$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$ となるので、ア=$6$, イ=$2$, ウ=$9$。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、円の中心 $(3, 1)$ と直線 $ax - y = 0$ の距離が半径 $1$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

$|3a - 1| = \sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗して、$(3a - 1)^2 = a^2 + 1$

$9a^2 - 6a + 1 = a^2 + 1$

$8a^2 - 6a = 0$

$2a(4a - 3) = 0$

よって、$a = 0, \frac{3}{4}$

$a = 0$ のとき、接点は $(3, 0)$ であり、$l$ に垂直な直線は $x = 3$ である。

$a = \frac{3}{4}$ のとき、接点を $(x_0, y_0)$ とすると、$y_0 = \frac{3}{4}x_0$ であり、$(x_0 - 3)^2 + (y_0 - 1)^2 = 1$ を満たす。

$(x_0 - 3)^2 + (\frac{3}{4}x_0 - 1)^2 = 1$

$x_0^2 - 6x_0 + 9 + \frac{9}{16}x_0^2 - \frac{3}{2}x_0 + 1 = 1$

$\frac{25}{16}x_0^2 - \frac{15}{2}x_0 + 9 = 0$

$25x_0^2 - 120x_0 + 144 = 0$

$(5x_0 - 12)^2 = 0$

$x_0 = \frac{12}{5}$

$y_0 = \frac{3}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$

$l: y = \frac{3}{4}x$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{4}{3}$ であり、接点 $(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ を通るので、

$y - \frac{9}{5} = -\frac{4}{3}(x - \frac{12}{5})$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{5} + \frac{9}{5}$

$y = -\frac{4}{3}x + 5$

よって、エ=$0$, オ=$3$, カ=$4$, キク=-4, ケ=3, コ=5。

(3) 円 $C$ の中心 $(3, 1)$ と直線 $ax - y = 0$ の距離を $d$ とすると、$d = \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$ である。

$AB$ の長さは $2\sqrt{1 - d^2}$ であるから、$AB = 2\sqrt{1 - \frac{(3a - 1)^2}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{a^2 + 1 - (9a^2 - 6a + 1)}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{4(-8a^2 + 6a)}{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{-32a^2 + 24a}{a^2+1}}$

よって、サ=$2$, シ=$6$, ス=$8$

$AB = 2$ となるのは、$\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1}} = 1$

$\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1} = 1$

$-8a^2 + 6a = a^2 + 1$

$9a^2 - 6a + 1 = 0$

$(3a - 1)^2 = 0$

$a = \frac{1}{3}$

よって、セ=$1$, ソ=$3$

3. 最終的な答え

(1) ア=$6$, イ=$2$, ウ=$9$

(2) エ=$0$, $\frac{3}{4}$

$a = \frac{3}{4}$ のとき、キク=-4, ケ=3, コ=5

(3) サ=$2$, シ=$6$, ス=$8$

セ=$1$, ソ=$3$