直角三角形ABCと長方形BDECを組み合わせた図形を、直線lを軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求める。ただし、AB = 8 cm, BC = 6 cm, CA = 10 cm, BD = 4 cmである。

1. 問題の内容

直角三角形ABCと長方形BDECを組み合わせた図形を、直線lを軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求める。ただし、AB = 8 cm, BC = 6 cm, CA = 10 cm, BD = 4 cmである。

2. 解き方の手順

まず、回転させてできる立体の形状を考える。

これは、底面の半径がBC=6 cm、高さがAB=8 cmの円錐から、底面の半径がBC=6 cm、高さがBD=4 cmの円柱をくり抜いた形になる。

円錐の体積 $V_{cone}$ は、

$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2)(8) = \frac{1}{3} \pi (36)(8) = 96\pi$ cm$^3$

円柱の体積 $V_{cylinder}$ は、

$V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi (6^2)(4) = \pi (36)(4) = 144\pi$ cm$^3$

したがって、立体の体積 V は、

$V = V_{cone} = 96\pi$ cm$^3$

次に、立体の表面積を求める。

円錐の側面積 $S_{cone}$ は、

$S_{cone} = \pi r l = \pi (6)(10) = 60\pi$ cm$^2$ （lは母線の長さで、CA=10 cm）

円柱の側面積 $S_{cylinder}$ は、

$S_{cylinder} = 2\pi r h = 2\pi (6)(4) = 48\pi$ cm$^2$

円柱の底面積 $S_{base}$ は、

$S_{base} = \pi r^2 = \pi (6^2) = 36\pi$ cm$^2$

したがって、立体の表面積 S は、

$S = S_{cone} + S_{cylinder} + S_{base} = 60\pi + 48\pi + 36\pi = 144\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

体積：$96\pi$ cm$^3$

表面積：$144\pi$ cm$^2$