三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。$AB = \sqrt{29}$, $AH = 5$, $BC = 7$のとき、$\sin B$と$\cos C$の値を求めよ。

幾何学三角比直角三角形ピタゴラスの定理sincos
2025/7/11

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。AB=29AB = \sqrt{29}, AH=5AH = 5, BC=7BC = 7のとき、sinB\sin BcosC\cos Cの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABHに着目する。AB=29AB = \sqrt{29}AH=5AH = 5なので、ピタゴラスの定理より、
BH2+AH2=AB2BH^2 + AH^2 = AB^2
BH2+52=(29)2BH^2 + 5^2 = (\sqrt{29})^2
BH2+25=29BH^2 + 25 = 29
BH2=4BH^2 = 4
BH=2BH = 2 (BH > 0 より)
次に、sinB\sin Bを求める。直角三角形ABHにおいて、
sinB=AHAB=529\sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{\sqrt{29}}
sinB=52929\sin B = \frac{5\sqrt{29}}{29}
次に、HCの長さを求める。BC=7BC = 7BH=2BH = 2より、HC=BCBH=72=5HC = BC - BH = 7 - 2 = 5
直角三角形AHCに着目する。AH=5AH = 5HC=5HC = 5なので、ピタゴラスの定理より、
AH2+HC2=AC2AH^2 + HC^2 = AC^2
52+52=AC25^2 + 5^2 = AC^2
25+25=AC225 + 25 = AC^2
AC2=50AC^2 = 50
AC=50=52AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} (AC > 0 より)
次に、cosC\cos Cを求める。直角三角形AHCにおいて、
cosC=HCAC=552=12\cos C = \frac{HC}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
cosC=22\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}

3. 最終的な答え

sinB=52929\sin B = \frac{5\sqrt{29}}{29}
cosC=22\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}

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