2点 A(4, -2) と B(-2, 6) を通る直線 l の方程式を求め、原点 O と直線 l の距離を求め、さらに三角形 OAB の面積を求めます。

はい、承知いたしました。問題8を解きます。

1. 問題の内容

2点 A(4, -2) と B(-2, 6) を通る直線 l の方程式を求め、原点 O と直線 l の距離を求め、さらに三角形 OAB の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2点 A(4, -2) と B(-2, 6) を通る直線 l の方程式を求める。

まず、直線 l の傾きを求める。傾き m は、

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - (-2)}{-2 - 4} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

次に、点 A(4, -2) を通る直線の方程式を求める。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} - 2$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

両辺に3を掛けて、

$3y = -4x + 10$

整理すると、

$4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点 O と直線 l の距離を求める。

点 (x1, y1) と直線 ax + by + c = 0 の距離 d は、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

原点 O(0, 0) と直線 4x + 3y - 10 = 0 の距離 d は、

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{10}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{10}{5} = 2$

(3) △OAB の面積を求める。

△OAB の面積 S は、

$S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$

A(4, -2), B(-2, 6) より、

$S = \frac{1}{2} |4(6) - (-2)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |24 - 4|$

$S = \frac{1}{2} |20|$

$S = 10$

3. 最終的な答え

(1) 直線 l の方程式: $4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点 O と直線 l の距離: 2

(3) △OAB の面積: 10