3点 $O(0, 0), A(-1, 2), B(4, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $O(0, 0), A(-1, 2), B(4, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

この円が3点 $O, A, B$ を通るので、それぞれの座標を代入して $l, m, n$ を求めます。

点 $O(0, 0)$ を代入すると、

$0^2 + 0^2 + l \cdot 0 + m \cdot 0 + n = 0$

より

$n = 0$

点 $A(-1, 2)$ を代入すると、

$(-1)^2 + 2^2 + l(-1) + m(2) + n = 0$

$1 + 4 - l + 2m + n = 0$

$5 - l + 2m + n = 0$

$n=0$ より

$-l + 2m = -5$　…(1)

点 $B(4, -4)$ を代入すると、

$4^2 + (-4)^2 + l(4) + m(-4) + n = 0$

$16 + 16 + 4l - 4m + n = 0$

$32 + 4l - 4m + n = 0$

$n=0$ より

$4l - 4m = -32$

$l - m = -8$　…(2)

(1)+(2)より

$-l + 2m + l - m = -5 + (-8)$

$m = -13$

(2)に $m=-13$ を代入すると

$l - (-13) = -8$

$l + 13 = -8$

$l = -21$

よって、$l = -21$, $m = -13$, $n = 0$ を円の方程式に代入すると、

$x^2 + y^2 - 21x - 13y = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 21x - 13y = 0$