$R^2$ 上の3点 $O(0,0)$, $P(3,1)$, $Q(1,4)$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。点 $D$ の座標を内積を使って計算し、$D$ の座標が $(\frac{(1)}{10}, \frac{(2)}{10})$ となるように、(1)と(2)にあてはまる値を求める。

1. 問題の内容

$R^2$ 上の3点 $O(0,0)$, $P(3,1)$, $Q(1,4)$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。点 $D$ の座標を内積を使って計算し、$D$ の座標が $(\frac{(1)}{10}, \frac{(2)}{10})$ となるように、(1)と(2)にあてはまる値を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $OP$ の方向ベクトルを $\vec{v} = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。点 $D$ は直線 $OP$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{OD} = t\vec{v} = t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix}$ と表せる。

次に、$\overrightarrow{QD}$ は $\vec{v}$ と垂直であるから、$\overrightarrow{QD} \cdot \vec{v} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{QD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t-1 \\ t-4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QD} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 3t-1 \\ t-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 3(3t-1) + 1(t-4) = 9t - 3 + t - 4 = 10t - 7 = 0$

よって、$10t = 7$ より $t = \frac{7}{10}$ となる。

したがって、$\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot \frac{7}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$

$D$ の座標は $(\frac{21}{10}, \frac{7}{10})$ となる。問題文の形式に合わせると、$(\frac{(1)}{10}, \frac{(2)}{10})$ なので、(1) = 21, (2) = 7 となる。

3. 最終的な答え

(1) = 21

(2) = 7