問題5: 2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。 (1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行 (2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直

1. 問題の内容

問題5: 2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直

2. 解き方の手順

まず、2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点の座標を求める。

連立方程式を解く。

$3x - 4y + 5 = 0$　… (1)

$2x + y - 4 = 0$　… (2)

(2)より、$y = -2x + 4$

これを(1)に代入すると、

$3x - 4(-2x + 4) + 5 = 0$

$3x + 8x - 16 + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$y = -2(1) + 4 = 2$

交点の座標は $(1, 2)$ である。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線の方程式を求める。

$2x + 3y = 0$ を変形すると $y = -\frac{2}{3}x$ となるので、傾きは $-\frac{2}{3}$ である。

求める直線は点 $(1, 2)$ を通り、傾きが $-\frac{2}{3}$ の直線なので、

$y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1)$

$3(y - 2) = -2(x - 1)$

$3y - 6 = -2x + 2$

$2x + 3y - 8 = 0$

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

$2x + 3y = 0$ を変形すると $y = -\frac{2}{3}x$ となるので、傾きは $-\frac{2}{3}$ である。

これに垂直な直線の傾きは $\frac{3}{2}$ である。

求める直線は点 $(1, 2)$ を通り、傾きが $\frac{3}{2}$ の直線なので、

$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1)$

$2(y - 2) = 3(x - 1)$

$2y - 4 = 3x - 3$

$3x - 2y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $2x + 3y - 8 = 0$

(2) $3x - 2y + 1 = 0$