問題8は、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) 2点A(4, -2)とB(-2, 6)を通る直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 原点Oと直線 $l$ の距離を求める。

1. 問題の内容

問題8は、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) 2点A(4, -2)とB(-2, 6)を通る直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 原点Oと直線 $l$ の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点A(4, -2)とB(-2, 6)を通る直線の傾き $m$ を求めます。

$m = \frac{6 - (-2)}{-2 - 4} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

次に、点A(4, -2)を通り、傾きが$-\frac{4}{3}$の直線の方程式を求めます。点傾斜式を利用します。

$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} - 2$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} - \frac{6}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

両辺に3をかけて、

$3y = -4x + 10$

$4x + 3y - 10 = 0$

したがって、直線 $l$ の方程式は $4x + 3y - 10 = 0$ です。

(2) 原点O(0, 0)と直線 $l: 4x + 3y - 10 = 0$ の距離 $d$ を求めます。点と直線の距離の公式を利用します。

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{10}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{10}{5}$

$d = 2$

したがって、原点Oと直線 $l$ の距離は2です。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式: $4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点Oと直線 $l$ の距離: 2