問題は、2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の条件を証明することです。ただし、$b \neq 0$ および $b' \neq 0$ とします。 * 2直線が平行であるとき、$ab' - ba' = 0$ が成り立つ。 * 2直線が垂直であるとき、$aa' + bb' = 0$ が成り立つ。 また、直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線について考える。

1. 問題の内容

問題は、2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の条件を証明することです。ただし、$b \neq 0$ および $b' \neq 0$ とします。

* 2直線が平行であるとき、$ab' - ba' = 0$ が成り立つ。

* 2直線が垂直であるとき、$aa' + bb' = 0$ が成り立つ。

また、直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線について考える。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行である条件 $ab' - ba' = 0$ の証明：

2直線の傾きが等しいことを示せばよい。

$ax + by + c = 0$ より、$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ なので、傾きは $-\frac{a}{b}$。

$a'x + b'y + c' = 0$ より、$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$ なので、傾きは $-\frac{a'}{b'}$。

2直線が平行なので、$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$。

したがって、$ab' = a'b$、すなわち、$ab' - ba' = 0$。

(2) 2直線が垂直である条件 $aa' + bb' = 0$ の証明：

2直線の傾きの積が $-1$ であることを示せばよい。

2直線の傾きはそれぞれ $-\frac{a}{b}$ と $-\frac{a'}{b'}$。

2直線が垂直なので、$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$。

したがって、$\frac{aa'}{bb'} = -1$、すなわち、$aa' = -bb'$。

したがって、$aa' + bb' = 0$。

(3) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線について：

直線 $2x + 3y = 0$ を $a'x + b'y + c' = 0$ と考えると、$a' = 2$、$b' = 3$、$c' = 0$ です。

これに垂直な直線 $ax + by + c = 0$ は、$aa' + bb' = 0$ を満たすので、$2a + 3b = 0$。

$a = 3$、$b = -2$ とすると、$2(3) + 3(-2) = 6 - 6 = 0$ となり、この条件を満たします。

したがって、求める直線は $3x - 2y + c = 0$ (cは任意)。

3. 最終的な答え

* 2直線が平行であるとき、$ab' - ba' = 0$ が成り立つ。

* 2直線が垂直であるとき、$aa' + bb' = 0$ が成り立つ。

* 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線は、$3x - 2y + c = 0$ (cは任意)。