命題「$a > b \Rightarrow a^2 > b^2$」の逆と裏について、それぞれの真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

1. 問題の内容

命題「$a > b \Rightarrow a^2 > b^2$」の逆と裏について、それぞれの真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

2. 解き方の手順

(1) 逆を求める：

逆は、元の命題の仮定と結論を入れ替えたものです。したがって、逆は「$a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$」となります。

(2) 逆の真偽を判定する：

逆「$a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$」が常に成り立つかを確認します。

$a^2 > b^2$ は $|a| > |b|$ を意味します。しかし、これは $a > b$ を必ずしも意味しません。

例えば、$a = -1$ で $b = -2$ の場合、$a^2 = 1$、$b^2 = 4$となり、$a^2 < b^2$ なので $a^2 > b^2$ は成り立ちません。

$a = 2$, $b = -1$ の場合、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ ですが、$a > b$ は成り立ちます。

$a = -2$, $b = -3$ の場合、$a^2 = 4$, $b^2 = 9$ となり、$a^2 < b^2$ なので $a^2 > b^2$ は成り立ちません。

$a = 2$, $b = 1$ の場合、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ であり、$a > b$ も成り立ちます。

$a = 1$, $b = -2$ の場合、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ となり、$a^2 < b^2$ なので $a^2 > b^2$ は成り立ちません。

しかし、$a = 2, b = -100$の場合は$a^2 = 4$, $b^2 = 10000$なので、$a^2 > b^2$は成り立ちませんが、$a>b$なので$a>b$という条件から$a^2 > b^2$は導けません。

$a = -2$ で $b = 1$ の場合、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$となり、$a^2 > b^2$ ですが、$a < b$ となり、$a > b$ は成り立ちません。

したがって、逆は偽です。

(3) 裏を求める：

裏は、元の命題の仮定と結論をそれぞれ否定したものです。したがって、裏は「$a \le b \Rightarrow a^2 \le b^2$」となります。

(4) 裏の真偽を判定する：

裏「$a \le b \Rightarrow a^2 \le b^2$」が常に成り立つかを確認します。

$a \le b$ は $a^2 \le b^2$ を必ずしも意味しません。

例えば、$a = -1$ で $b = 0$ の場合、$a \le b$ですが、$a^2 = 1$、$b^2 = 0$となり、$a^2 > b^2$ なので裏は偽です。

しかし、$a = 0$, $b = 1$ の場合、$a \le b$ であり、$a^2 = 0$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 \le b^2$ も成り立ちます。

$a \le b$ の時 $a^2 > b^2$となる例があるので、裏は偽。

別の例：$a = -2$、$b = -1$のとき、$a<b$ だが、$a^2=4>1=b^2$ となる。

従って裏は偽。

(5) 選択肢の確認：

選択肢の中で「逆：偽、裏：偽」となっているのは選択肢4です。

3. 最終的な答え

4