与えられた式 $(x+2y)^2 (x^2-2xy+4y^2)^2$ を計算して、簡略化された形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2y)^2 (x^2-2xy+4y^2)^2$ を計算して、簡略化された形を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2-2xy+4y^2$の部分に注目します。これは、$(x+2y)$との積を考えると、$x^3 + (2y)^3$の形になることが期待できます。実際に計算してみましょう。

$$(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3$$

したがって、元の式は以下のように変形できます。

$(x+2y)^2(x^2-2xy+4y^2)^2 = [(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)]^2$

上記の計算結果から、

$[ (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) ]^2 = (x^3 + 8y^3)^2$

展開すると、

$(x^3 + 8y^3)^2 = (x^3)^2 + 2(x^3)(8y^3) + (8y^3)^2 = x^6 + 16x^3y^3 + 64y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 + 16x^3y^3 + 64y^6$