次の2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。 (1) $x^2 - x + m = 0$ (2) $x^2 + mx + 16 = 0$

1. 問題の内容

次の2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

(1) $x^2 - x + m = 0$

(2) $x^2 + mx + 16 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x + m = 0$ の場合

2次方程式が重解を持つのは、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0に等しいときである。

この方程式では、$a = 1$, $b = -1$, $c = m$ であるから、判別式は

$D = (-1)^2 - 4(1)(m) = 1 - 4m$

重解を持つためには、$D = 0$ である必要があるので、

$1 - 4m = 0$

$4m = 1$

$m = \frac{1}{4}$

このときの方程式は $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ となり、

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$ が重解である。

(2) $x^2 + mx + 16 = 0$ の場合

2次方程式が重解を持つのは、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0に等しいときである。

この方程式では、$a = 1$, $b = m$, $c = 16$ であるから、判別式は

$D = m^2 - 4(1)(16) = m^2 - 64$

重解を持つためには、$D = 0$ である必要があるので、

$m^2 - 64 = 0$

$m^2 = 64$

$m = \pm 8$

$m = 8$ のとき、方程式は $x^2 + 8x + 16 = 0$ となり、

$(x + 4)^2 = 0$

したがって、$x = -4$ が重解である。

$m = -8$ のとき、方程式は $x^2 - 8x + 16 = 0$ となり、

$(x - 4)^2 = 0$

したがって、$x = 4$ が重解である。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{1}{4}$、重解は $x = \frac{1}{2}$

(2) $m = 8$ のとき重解は $x = -4$、 $m = -8$ のとき重解は $x = 4$