与えられた式 $(x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2xy + 4y^2$ の部分に注目します。これは、$(x+2y)$と組み合わせることで、$x^3 + (2y)^3$ の形になる可能性があります。

$x^2 - 2xy + 4y^2 = x^2 - x(2y) + (2y)^2$ であることに注目します。

このとき、$x+2y$ と $x^2 - x(2y) + (2y)^2$ の積は、$x^3 + (2y)^3$ となります。つまり、

$(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3$

となります。

与えられた式は $(x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3$ です。

これを $(x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3 = (x+2y)^2[(x^2 - 2xy + 4y^2)]^3$ と書き換えます。

$(x^3 + 8y^3) = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$ より、与式は以下のようになります。

$(x+2y)^2 (x^2 - 2xy + 4y^2)^3 = (x+2y)^2((x^2 - 2xy + 4y^2)^3)$

$= (x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3$

$= (x+2y)^2[(x^2 - 2xy + 4y^2)^3]$

$= (x+2y)^2(x^2 - 2xy + 4y^2)^3$

$= (x+2y)^2 \cdot [(x^2 - 2xy + (2y)^2)^3]$

$= (x+2y)^2 \cdot (x^2 - 2xy + 4y^2)^3$

$=[(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)]^3 (x+2y)^{-1}$

$=(x^3 + 8y^3)^3 (x+2y)^{-1}(x+2y)^2$

$=(x^3 + 8y^3)^3(x+2y)^{-1}(x+2y)^2$

$=(x^3 + 8y^3)^3(x+2y)$

$=(x+2y)(x^3+8y^3)^3$

3. 最終的な答え

$(x+2y)(x^3 + 8y^3)^3$