2次関数のグラフが与えられた3点を通るとき、その2次関数を求めよ。 (1) (-1, 2), (2, 5), (1, 0) (2) (-1, 1), (1, -5), (3, 5)

1. 問題の内容

2次関数のグラフが与えられた3点を通るとき、その2次関数を求めよ。

(1) (-1, 2), (2, 5), (1, 0)

(2) (-1, 1), (1, -5), (3, 5)

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、連立方程式を立てる。

点(-1, 2)を通るので、

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 2$

$a - b + c = 2$ (1)

点(2, 5)を通るので、

$a(2)^2 + b(2) + c = 5$

$4a + 2b + c = 5$ (2)

点(1, 0)を通るので、

$a(1)^2 + b(1) + c = 0$

$a + b + c = 0$ (3)

(1), (2), (3)の連立方程式を解く。

(3) - (1)より

$2b = -2$

$b = -1$

(1)に代入して

$a + 1 + c = 2$

$a + c = 1$ (4)

(3)に代入して

$a - 1 + c = 0$

$a + c = 1$ (5)

(2)に代入して

$4a - 2 + c = 5$

$4a + c = 7$ (6)

(6) - (4)より

$3a = 6$

$a = 2$

(4)に代入して

$2 + c = 1$

$c = -1$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 - x - 1$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、連立方程式を立てる。

点(-1, 1)を通るので、

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 1$

$a - b + c = 1$ (7)

点(1, -5)を通るので、

$a(1)^2 + b(1) + c = -5$

$a + b + c = -5$ (8)

点(3, 5)を通るので、

$a(3)^2 + b(3) + c = 5$

$9a + 3b + c = 5$ (9)

(8) - (7)より

$2b = -6$

$b = -3$

(7)に代入して

$a + 3 + c = 1$

$a + c = -2$ (10)

(9)に代入して

$9a - 9 + c = 5$

$9a + c = 14$ (11)

(11) - (10)より

$8a = 16$

$a = 2$

(10)に代入して

$2 + c = -2$

$c = -4$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - x - 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$