与えられた式 $a^6 + 7a^3b^3 - 8b^6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 + 7a^3b^3 - 8b^6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a^3 = x$ , $b^3 = y$ と置換すると、与えられた式は

$x^2 + 7xy - 8y^2$ となります。

これを因数分解します。

$x^2 + 7xy - 8y^2 = x^2 + 8xy - xy - 8y^2 = x(x+8y) - y(x+8y) = (x-y)(x+8y)$

元の変数に戻すと

$(a^3-b^3)(a^3+8b^3)$ となります。

$a^3-b^3$ は $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ と因数分解できます。

$a^3+8b^3$ は $a^3+(2b)^3$ と見なせるので、$(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$ と因数分解できます。

したがって、$a^6 + 7a^3b^3 - 8b^6 = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$