$m, n$ は実数である。 命題「$|m+n| > 2$ ならば、$m, n$ のうち少なくとも一方は絶対値が 1 より大きい」を、対偶を利用して証明する。 対偶は「$m, n$ がどちらも絶対値が 1 以下ならば、$|m+n| \le 2$」である。 空欄①, ②, ③に当てはまる不等式を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

$m, n$ は実数である。

命題「$|m+n| > 2$ ならば、$m, n$ のうち少なくとも一方は絶対値が 1 より大きい」を、対偶を利用して証明する。

対偶は「$m, n$ がどちらも絶対値が 1 以下ならば、$|m+n| \le 2$」である。

空欄①, ②, ③に当てはまる不等式を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

$|m| \le 1$ より $-1 \le m \le 1$。これが①に入る。

$|n| \le 1$ より $-1 \le n \le 1$。これが②に入る。

$-1 \le m \le 1$ と $-1 \le n \le 1$ の各辺を足し合わせると、 $-1 + (-1) \le m + n \le 1 + 1$ となる。

よって $-2 \le m + n \le 2$ となる。これが③に入る。

3. 最終的な答え

選択肢の中で①に $-1 \le m \le 1$、②に $-1 \le n \le 1$、③に $-2 \le m+n \le 2$ が当てはまるのは選択肢2である。

したがって、答えは2である。