1から4までの数字が書かれた4枚の札から同時に2枚を引き、書かれた数字の大きい方を$X$とする。このとき、$X$の平均と標準偏差を求める問題。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれた4枚の札から同時に2枚を引き、書かれた数字の大きい方を$X$とする。このとき、$X$の平均と標準偏差を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$X$の取りうる値を考える。2枚の札を引くので、$X$は2, 3, 4のいずれかの値を取る。次に、$X$がそれぞれの値を取る確率を計算する。

* $X=2$となるのは、(1, 2)を引く場合のみ。組み合わせの総数は$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りなので、$P(X=2)=\frac{1}{6}$.

* $X=3$となるのは、(1, 3)または(2, 3)を引く場合。よって、$P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

* $X=4$となるのは、(1, 4), (2, 4), (3, 4)を引く場合。よって、$P(X=4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

次に、$X$の平均$E(X)$を計算する。

$$E(X) = 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4)$$

$$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + 1 + 2 = \frac{10}{3}$$

次に、$X^2$の平均$E(X^2)$を計算する。

$$E(X^2) = 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) + 4^2 \times P(X=4)$$

$$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{6} + 9 \times \frac{1}{3} + 16 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + 3 + 8 = \frac{35}{3}$$

$X$の分散$V(X)$を計算する。

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{35}{3} - (\frac{10}{3})^2 = \frac{35}{3} - \frac{100}{9} = \frac{105 - 100}{9} = \frac{5}{9}$$

最後に、$X$の標準偏差$\sigma(X)$を計算する。

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

3. 最終的な答え

平均：$\frac{10}{3}$

標準偏差：$\frac{\sqrt{5}}{3}$