大中小の3つのサイコロを投げるとき、以下の確率を求めよ。 (1) 出る目がすべて異なる確率 (2) 大中小の順に出る目が小さくなる確率

1. 問題の内容

大中小の3つのサイコロを投げるとき、以下の確率を求めよ。

(1) 出る目がすべて異なる確率

(2) 大中小の順に出る目が小さくなる確率

2. 解き方の手順

(1)

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りである。

3つのサイコロの目がすべて異なる場合、1つ目のサイコロの目は6通り、2つ目のサイコロの目は1つ目のサイコロの目と異なる5通り、3つ目のサイコロの目は1つ目と2つ目のサイコロの目と異なる4通りである。

したがって、3つのサイコロの目がすべて異なる場合は $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りである。

求める確率は、

$\frac{120}{216} = \frac{5 \times 24}{9 \times 24} = \frac{5}{9}$

(2)

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りである。

大中小の順に出る目が小さくなるということは、3つのサイコロの目がすべて異なる必要がある。3つの異なる目を選ぶ組み合わせの数は、6つの目から3つを選ぶ組み合わせの数に等しい。これは $_{6}C_{3}$ で表される。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

選んだ3つの目を大中小の順に並べる方法は一通りしかない。

したがって、大中小の順に出る目が小さくなる場合は20通りである。

求める確率は、

$\frac{20}{216} = \frac{5 \times 4}{54 \times 4} = \frac{5}{54}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{9}$

(2) $\frac{5}{54}$