与えられた問題は、確率・統計に関する7つの小問から構成されています。 (1) 二項分布 $B(6, 1/2)$ に従う確率変数 $X$ に対して、$P(X \leq 2)$ を求める問題。 (2) サイコロを5回投げて、3の倍数の目が出る回数を $X$ とするとき、$X$ が従う二項分布と、$P(4 \leq X \leq 5)$ を求める問題。 (3) 二項分布 $B(9, 1/2)$ と $B(5, 1/4)$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。 (4) サイコロを100回投げて、3の倍数の目が出る回数を $X$ とするとき、$X$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。 (5) 赤玉6個、白玉4個が入った壺から玉を取り出して戻す操作を6回繰り返すとき、赤玉が出る回数を $X$ とするとき、$X$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。 (6) (a) サイコロを投げて2が出るまでにかかる回数 $X$ が従う分布を求める問題。 (b) 2人でじゃんけんをして決着がつくまでの回数 $X$ が従う分布を求める問題。 (7) 寝坊する確率が25%の人が、寝坊した日から次に寝坊するまでの日数 $X$ が従う分布とその期待値を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた問題は、確率・統計に関する7つの小問から構成されています。

(1) 二項分布 $B(6, 1/2)$ に従う確率変数 $X$ に対して、$P(X \leq 2)$ を求める問題。

(2) サイコロを5回投げて、3の倍数の目が出る回数を $X$ とするとき、$X$ が従う二項分布と、$P(4 \leq X \leq 5)$ を求める問題。

(3) 二項分布 $B(9, 1/2)$ と $B(5, 1/4)$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。

(4) サイコロを100回投げて、3の倍数の目が出る回数を $X$ とするとき、$X$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。

(5) 赤玉6個、白玉4個が入った壺から玉を取り出して戻す操作を6回繰り返すとき、赤玉が出る回数を $X$ とするとき、$X$ の期待値、分散、標準偏差を求める問題。

(6) (a) サイコロを投げて2が出るまでにかかる回数 $X$ が従う分布を求める問題。

(b) 2人でじゃんけんをして決着がつくまでの回数 $X$ が従う分布を求める問題。

(7) 寝坊する確率が25%の人が、寝坊した日から次に寝坊するまでの日数 $X$ が従う分布とその期待値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 二項分布 $B(n, p)$ において、$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ です。

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ を計算します。

$n=6$, $p=1/2$ なので、

$P(X=0) = \binom{6}{0} (1/2)^0 (1/2)^6 = 1/64$

$P(X=1) = \binom{6}{1} (1/2)^1 (1/2)^5 = 6/64$

$P(X=2) = \binom{6}{2} (1/2)^2 (1/2)^4 = 15/64$

$P(X \leq 2) = \frac{1}{64} + \frac{6}{64} + \frac{15}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$

(2) 3の倍数の目は、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち3と6なので、出る確率は $p = 2/6 = 1/3$ です。サイコロを5回投げるので、$X$ は二項分布 $B(5, 1/3)$ に従います。

$P(4 \leq X \leq 5) = P(X=4) + P(X=5)$ を計算します。

$P(X=4) = \binom{5}{4} (1/3)^4 (2/3)^1 = 5 \times (1/81) \times (2/3) = 10/243$

$P(X=5) = \binom{5}{5} (1/3)^5 (2/3)^0 = 1 \times (1/243) \times 1 = 1/243$

$P(4 \leq X \leq 5) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

(3) 二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E[X] = np$、分散は $V[X] = np(1-p)$、標準偏差は $\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{np(1-p)}$ です。

(a) $B(9, 1/2)$ のとき、$E[X] = 9 \times (1/2) = 4.5$

$V[X] = 9 \times (1/2) \times (1/2) = 9/4 = 2.25$

$\sigma = \sqrt{2.25} = 1.5$

(b) $B(5, 1/4)$ のとき、$E[X] = 5 \times (1/4) = 5/4 = 1.25$

$V[X] = 5 \times (1/4) \times (3/4) = 15/16 = 0.9375$

$\sigma = \sqrt{0.9375} \approx 0.968$

(4) 3の倍数の目は、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち3と6なので、出る確率は $p = 2/6 = 1/3$ です。サイコロを100回投げるので、$X$ は二項分布 $B(100, 1/3)$ に従います。

$E[X] = np = 100 \times (1/3) = 100/3 \approx 33.33$

$V[X] = np(1-p) = 100 \times (1/3) \times (2/3) = 200/9 \approx 22.22$

$\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{200/9} = (10\sqrt{2})/3 \approx 4.71$

(5) 赤玉が出る確率は $p = 6/(6+4) = 6/10 = 3/5$ です。6回繰り返すので、$X$ は二項分布 $B(6, 3/5)$ に従います。

$E[X] = np = 6 \times (3/5) = 18/5 = 3.6$

$V[X] = np(1-p) = 6 \times (3/5) \times (2/5) = 36/25 = 1.44$

$\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{36/25} = 6/5 = 1.2$

(6) (a) 2が出るまでにかかる回数は、幾何分布に従います。 $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ ここでpは2が出る確率なので$p=1/6$。

(b) じゃんけんで決着がつくまでの回数も幾何分布に従います。$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$。ここでpは一度のじゃんけんで決着がつく確率です。あいこになる確率が1/3なので、$p=1-1/3=2/3$

(7) 寝坊するまでの日数は幾何分布に従います。寝坊する確率が$p=25\% = 1/4$ なので、期待値は$E[X] = 1/p = 1/(1/4) = 4$ 日です。

3. 最終的な答え

(1) $P(X \leq 2) = \frac{11}{32}$

(2) $X$ は $B(5, 1/3)$ に従う。 $P(4 \leq X \leq 5) = \frac{11}{243}$

(3) (a) 期待値: 4.5, 分散: 2.25, 標準偏差: 1.5

(b) 期待値: 1.25, 分散: 0.9375, 標準偏差: 約0.968

(4) 期待値: 約33.33, 分散: 約22.22, 標準偏差: 約4.71

(5) 期待値: 3.6, 分散: 1.44, 標準偏差: 1.2

(6) (a) 幾何分布

(b) 幾何分布

(7) 幾何分布、期待値: 4日